arctanx 也就是反正切函数，它的定义域是全体实数，也就是负无穷到正无穷，值域是负二分之 π 到正二分之 π 开区间，这个结论来源于反函数对应的原理，arctanx 是正切函数 tanx 截取主值区间之后构造出来的反函数，原函数 tanx 在主值区间负二分之 π 到正二分之 π 上是单调一一对应的，原函数 tanx 的值域是全体实数，所以反函数 arctanx 的定义域就等于原函数 tanx 的值域，反函数 arctanx 的值域就等于原函数 tanx 的主值区间，理解这个对应关系之后，不管是基础题型还是复合函数题型，都可以快速判断 arctanx 的定义域值域，复合形式比如 arctan 里面套多项式分式三角函数，就需要把内层表达式整体当成自变量，因为 arctanx 的定义域是全体实数，所以内层表达式只要自身有定义，复合函数就可以成立，不需要额外限制绝对值，这点和 arcsinx arccosx 有明显区别，arcsinx arccosx 自变量必须在负 1 到正 1，arctanx 没有这个数值上下限，这也是考试经常对比考察的知识点，同时 arctanx 在定义域内单调递增，图像有两条水平渐近线，y 趋近负二分之 π 和 y 趋近正二分之 π，也就是 x 趋向负无穷的时候函数接近负二分之 π，x 趋向正无穷的时候函数接近正二分之 π，端点是开区间，永远取不到正负二分之 π。
基础原理说明
原函数 tanx，选取主值区间 负二分之 π 小于 x 小于 正二分之 π
在这个区间 tanx 单调递增，是一一映射，tanx 输出可以取到全部实数
反函数记作 y 等于 arctanx
反函数定义域等于原函数值域，也就是全体实数
反函数值域等于原函数主值区间，也就是负二分之 π 到正二分之 π 开区间
核心参数对照表
表格
复合函数判断步骤
第一步 识别外层函数是 arctanx，牢记 arctanx 的定义域值域规则
第二步 写出内层函数，检查内层函数本身的定义要求，比如分母不能为零，偶次根号内部非负
第三步 因为 arctanx 接受任意实数作为输入，所以内层只要本身有定义，复合函数就可以成立
第四步 复合之后新函数的值域，依旧不会超出负二分之 π 到正二分之 π 这个范围
第五步 整理结果，写出复合函数最终定义域，同时确认值域上限下限
拓展深度要点
arctanx 的定义域是全体实数，这个特点让它在微积分概率编程测绘领域使用非常灵活，不像 arcsinx 有自变量上下限约束，在求导运算里面，arctanx 导数是 1 除以 1 加 x 平方，导数在全体定义域都存在，因为分母 1 加 x 平方永远大于零，不存在导数不存在的点，这个性质也和定义域是全体实数相互呼应，在不定积分里面，1 除以 1 加 x 平方的原函数就是 arctanx 加常数 C，这个积分公式也是依托 arctanx 的定义域值域性质建立，做题的时候经常把 arctanx 和 arccot 做对比，arccot 主值区间是 0 到 π，值域不一样，定义域同样是全体实数，对比记忆可以更好区分两个反三角函数。
【相关 FAQ】
问题 1 arctanx 的定义域值域里面值域端点可以取到吗
回答 1 arctanx 的定义域值域里面，值域是开区间负二分之 π 到正二分之 π，正负二分之 π 是渐近线，arctanx 的定义域值域规定端点无法取到。
问题 2 arctanx 的定义域值域和 arcsinx 有什么区别
回答 2 arctanx 的定义域值域，定义域是全体实数，arcsinx 定义域是负 1 到正 1，arctanx 的定义域值域没有自变量上下限制，这是二者最核心差别。
问题 3 arctanx 的定义域值域 复合函数 arctan (x 减 2) 定义域是什么
回答 3 arctanx 的定义域值域规则里 arctan 接受任意实数，arctan (x 减 2) 内层是一次函数本身全部实数有定义，所以复合之后定义域依旧是全体实数，值域还是负二分之 π 到正二分之 π。
问题 4 arctanx 的定义域值域 为什么 arctanx 是奇函数
回答 4 arctanx 的定义域值域是对称的全体实数，满足 arctan (-x) 等于负 arctanx，所以 arctanx 属于奇函数，这个性质和 arctanx 的定义域值域对称特征匹配。
【免责申明】
本文内容仅作为数学学习参考，部分旧教材对反三角函数主值区间定义存在差异，正式考试请以所用教材规定为准，本文不替代课堂教材与教师讲解。
