分部积分法公式适合在积分中出现相乘的两类函数，并且其中一类求导后结构更简单，另一类积分后容易写出时使用。常见对象包括多项式乘指数函数、多项式乘对数函数、多项式乘三角函数、多项式乘反三角函数，以及某些需要构造循环或降次的积分。只要看到“乘积型积分”和“可以拆成可积分部分”的结构，就可以按分部积分法公式判断使用路径，再按流程完成转化。
一、核心判断：什么时候用分部积分法公式
当题目里同时出现下面两类信息，思路就会很顺。
- 积分里有相乘结构：例如 x e^x、x ln x、x^2 sin x、x arctan x。
- 一部分求导会简单：例如 ln x、arctan x、x^n。
- 另一部分积分容易：例如 e^x、sin x、cos x、x^n。
二、常见适用题型
三、选择 u 和 dv 的思路
可以使用下面这个口语化清单。
- 看到 ln x、arctan x、arcsin x，先考虑把它们放在 u 的位置。
- 看到 x^2、x^3、x^n，可以把多项式放在 u 的位置，求导一次就会降次。
- 看到 e^x、sin x、cos x，可以把它们放在 dv 的位置，积分后容易写出 v。
- 看到 x e^x、x^2 e^x、x^n sin x，可以连续使用分部积分法公式，把多项式部分逐步降低次数。
四、使用流程
- 先写公式：∫ u dv = uv - ∫ v du。
- 选择 u：优先选求导后更简单的部分。
- 选择 dv：把剩余部分写成可积分的 dv。
- 求 du：对 u 求导。
- 求 v：对 dv 积分。
- 代入公式：得到 uv 减去新的积分。
- 化简新积分：如果新积分仍然含有 x^n，可以继续用分部积分法公式降次。
- 整理结果：写成*终形式，并加上积分常数 C。
五、整体思路
分部积分法公式常用在乘积型积分里，核心是“让一边变简单，让另一边可积分”。只要这两个条件同时满足，就可以使用；如果一次不能完成，可以连续用多次，直到新积分变得简单或出现循环结构。遇到 ∫ e^x sin x dx、∫ e^x cos x dx 这类形式时，使用两次分部积分法公式后，可以把原积分回到等式两边，再整理求解。
【常见问题】
问题1：分部积分法公式什么时候用*直观？
回答1：分部积分法公式什么时候用*直观？当被积函数是两类函数相乘，且其中一类求导后更简单、另一类积分容易写出时，*直接。
问题2：分部积分法公式什么时候用可以降次？
回答2：分部积分法公式什么时候用可以降次？当出现 x^n e^x、x^n sin x、x^n cos x 这类形式时，连续使用可以逐步降低多项式次数。
问题3：分部积分法公式什么时候用可以处理循环积分？
回答3：分部积分法公式什么时候用可以处理循环积分？当积分中反复出现同类结构，例如 ∫ e^x sin x dx，使用两次后可以回到原积分并整理求解。
问题4：分部积分法公式什么时候用适合选择 u 和 dv？
回答4：分部积分法公式什么时候用适合选择 u 和 dv？优先把求导后变简单的部分选为 u，把积分后容易写出的部分选为 dv。
问题5：分部积分法公式什么时候用适合对数函数参与积分？
回答5：分部积分法公式什么时候用适合对数函数参与积分？当积分里出现 ln x、x ln x、x^2 ln x 这类结构时，通常把对数函数放在 u 的位置，让求导后的结构更清楚。
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